20212022学年人教版数学第二学期

-学年第二学期正数和负数教案

教学目标

1．了解由于实际需要而引入负数，体会数学与实际生活的联系；

2．能用正、负数表示生活中具有相反意义的量；

3．会判断一个数是正数还是负数。

4.会用正、负数表示具有相反意义的量，并能解决实际应用问题，学会寻找实际问题中的数量关系，通过探究，渗透对立统一的辨证思想。

教学重点与难点

重点：1．知道什么是正数和负数．

2．理解数“0”表示的量的意义．

难点：理解负数、数“0”表示的量的意义．

过程与方法

老师引导学生联系实际，探索用正数、负数表示具有相反意义的量的方法，通过实际生活中的事例，使学生进一步体会正数、负数及0的意义.

情感态度与价值观

（1）通过教师、学生双边的教学活动，激发学生的学习兴趣，让学生体验到数学知识来源于生活并服务于生活；

（2）通过正、负数的学习，渗透对立、统一的辩证思想.

一、设置情境引入课题

数的产生和发展离不开生活和生产的需要.

由记数、排序，产生数1、2、3，…

由表示“没有”“空位”，产生数0.

由分物、测量，产生分数，，…

二、分析问题探究新知

本章引言中，表示温度、产量增长率、收支情况时，既要用到数3，1.8%，3.5等，还要用到数-3，-2.7%，-4.5，-1.2等，它们实际意义分别是：零下3摄氏度，减少2.7%，支出4.5元，亏空1.2元.

3，1.8%，3.5等的实际意义吗？

像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数.像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”(正)号.例如，+3，+2，+0.5，+，…就是3，2，0.5，，….一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号.0既不是正数，也不是负数.

中国古代用算筹(表示数的工具)进行计算，红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数.

例(1)一个月内，小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值；（+1kg）(2)某年，下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：

美国减少6.4%，德国增长1.3%，法国减少2.4%，

英国减少3.5%，意大利增长0.2%，中国增长7.5%.

写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率.

美国-6.4%，德国+1.3%，法国-2.4%，

英国-3.5%，意大利+0.2%，中国+7.5%.

归纳

如果一个问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数分别表示它们.

练习

1.年我国全年平均降水量比上年增加.7mm，年比上年减少81.5mm，年比上年增加53.5mm.用正数和负数表示这三年我国全年平均降水量比上年的增长量.

分别是+.7mm，-81.5mm，+53.5mm

零的意义

把0以外的数分为正数和负数，它们表示具有相反意义的量.随着对正数、负数意义认识的加深，正数和负数在实践中得到了广泛应用.在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准(规定海平面的海拔高度为0m)，通常用正数表示高于海平面的某地的海拔高度，用负数表示低于海平面的某地的海拔高度.例如，珠穆朗玛峰的海拔高度为.86m，吐鲁番盆地的海拔高度为-m.记账时，通常用正数表示收入款额，用负数表示支出款额.

0是正数与负数的分界.0℃是一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度.0的意义已不仅是表示“没有”.

思考

上面的正数和负数的含义是什么？你能再举一些用正数、负数表示数量的实际例子吗？

三、实例演练深化认识

1.读下列各数，并指出其中哪些是正数，哪些是负数.

-1，2.5，+，0，-3.14，，-1.，-.

正数：2.5，，+，

负数：-1，-3.14，-1.，

2.如果80m表示向东走80m，那么-60m表示____________.（向西走60米）

3.如果水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位下降3m时水位变化记作____m，水位不升不降时水位变化记作____m.（-3;0）

4.月球表面的白天平均温度零上℃，记作_____℃，夜间平均温度零下℃，记作______℃.(+℃；-℃)

四、小结

1．由于实际问题中存在着相反意义的量，所以要引入负数，这样数的范围就扩大了．

2．正数就是以前学过的0以外的数(或在其前面加“＋”)，负数就是在以前学过的0以外的数前面加“－”．

3.注意0既不是正数，也不是负数.

四、课后练习

单选题

知识点一：正负数的意义

1．（·湖北黄冈市·七年级期中）如果把向东走4km记作+4km，那么﹣2km表示的实际意义是（ 　　）

A．向东走2kmB．向西走2kmC．向南走2kmD．向北走2km

2．（·全国七年级课时练习）如图所示，如果把张明前面第二个同学李利记作＋2，那么－1表示的同学是( 　　)

A．甲B．丙C．乙D．丁

3．（·广东省东莞市中堂星晨学校七年级月考）下列结论正确的是（ 　　）

A．不大于0的数一定是负数B．海拔高度是0米表示没有高度

C．0是正数与负数的分界D．不是正数的数一定是负数

知识点二：相反意义的量

4．（·民勤县第六中学七年级期中）如果“盈利5%”记作+5%,那么-3%表示(　)

A．亏损3%B．亏损8%C．盈利2%D．少赚3%

5．（·山东济南市·七年级期末）李白出生于公元年，我们记作+，那么秦始皇出生于公元前年，可记作（ 　　）

A．B．﹣C．﹣D．

6．（·全国七年级课时练习）下列说法正确的是(　)

A．上升和下降是具有相反意义的量

B．前进20米是具有相反意义的量

C．向南走50米与向北走40米是具有相反意义的量

D．收入20元与下降20米是具有相反意义的量

知识点三：正负数在实际生活中的运用

7．（·眉山市东坡区苏辙中学七年级月考）如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（ 　　）

A．Φ45.02B．Φ44.9C．Φ44.98D．Φ45.01

8．（·吉林长春市·七年级期中）某种药品说明书上标明保存温度是（20±3）℃，则该药品在（ 　　）范围内保存最合适．

A．17℃～20℃B．20℃～23℃C．17℃～23℃D．17℃～24℃

9．（·江苏苏州市·常州外国语学校七年级月考）若足球质量与标准质量相比，超出部分记作正数，不足部分记作负数，则在下面4个足球中，质量最接近标准的是 　　

A．

B．

C．

D．

填空题

知识点一：正负数的意义

10．（·莆田第十五中学七年级月考）数学考试成绩以80分为标准，王老师将某4名同学的成绩简记为+10，0，–8，+18，则这4名同学实际成绩最高的是______分．

11．（·全国七年级课时练习）在下列8个数5，－2，－，0，＋，1，－3．2，0．15中，负数有 　　 　　个．

12．（·北京七年级期中）公元三世纪，我国数学家刘徽在“九章算术”的注文中指出“今两算得失相反，要令正负以名之.”就是说，对两个意义相反的量，要以正和负加以区别.如果在一次七年级数学知识竞赛中，加10分用分表示，那么扣20分表示为__________．

知识点二：相反意义的量

13．（·全国七年级课时练习）给出一对数＋2和－3，请赋予它们实际的意义：__________________________．

14．（·福建漳州市·七年级期中）上升了﹣5米，实际上是_____了_____米；如果比海平面低米记作﹣米，那么+米表示_____．

15．（·广东广州市·七年级期中）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章中，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入元记作元，那么支出80元可表示为____．

知识点三：正负数在实际生活中的运用

16．（·江苏省南菁高级中学实验学校）88层的金茂大厦的电梯上，有显示楼层的液晶屏，如图，可显示01，02，…，88，由于屏幕受到损坏，显示左边数字的7根线段中有1根不能亮了，显示右边数字的7根线段中有3根不能亮了．请问：电梯在运行的过程中，最多还有_____个楼层的数字显示是正确的．

（说明）数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9显示方式如下图所示．

17．（·云梦县实验外国语学校七年级月考）七（8）班数学兴趣小组在一次数学智力大比拼的竞赛中的平均分数为90分，张红得了85分，记作－5分，则小明同学行92分，可记为____，李聪得90分可记为____，程佳＋8分，表示______.

18．（·全国七年级单元测试）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是_____个．

解答题

知识点一：正负数的意义

19．（·泸西县中枢镇逸圃初级中学七年级期末）有20筐苹果，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：

（1）在这20筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？

（2）求这20筐苹果的总质量．

20．（·广东吴川一中实验学校七年级月考）一种商品的标准价格是元，但随着季节的变化，商品的价格可浮动±10%，想一想．

（1）请你计算出该商品的最高价格和最低价格；

（2）如果以标准价为标准，超过标准价记“＋”，低于标准价记“－”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？

知识点二：相反意义的量

21．（·全国七年级课时练习）下面各组量是不是具有相反意义的量？如果是，请你用正数和负数表示这些量.

（1）节约20度电与浪费10度电；

（2）向南前进米和向东后退20米；

（3）卖出20箱饮料与收入元；

（4）盈利18万元和亏损15万元.

22．（·山东全国·七年级课时练习）一个物体沿着东西两个相反的方向运动，如果把向东的方向规定为正方向，那么向东运动5m，向西运动各应记作什么？运动了6m，运动了，运动了0m各表示什么意义？

知识点三：正负数在实际生活中的运用

23．（·重庆七年级期中）出租车司机小王某天下午营运全是在东西走向的公路上进行的．如果向东记作“+”，向西记作“﹣”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米：每次行车都有乘客）

﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，﹣4，+6请回答：

（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？

（2）若小王的出租车每千米耗油0.3升，每升汽油6元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午共需要多少油费？

（3）根据（2）小题条件，若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的部分每千米另收2元钱．那么小王这天下午收到乘客所给车费共多少元？小王这天下午的出租车运营是盈利还是亏损？盈利（或亏损）多少？

24．（·郁南县蔡朝焜纪念中学七年级月考）灌云高速公路养护小组，乘车沿南北向公路巡视维护，如果约定向北为正，向南为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：+15，﹣6，+8，﹣14，﹣4，+10，﹣4，﹣7，+6，+14

（1）养护小组最后到达的地方在出发点的 　　边，距出发点 　　千米.

（2）养护过程中，最远处离出发点有多少千米？

（3）若汽车耗油量为0.5L/km，则这次养护共耗油多少升？

参考答案

1．B

首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．

解：向东走4km记作+4km，那么-2km表示向西走2km，

故选：B．

本题考查了正负数的意义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．

2．B

在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．

∵李利在张明前第二个同学记作+2，

∴张明后第一个同学记为1，

故选：B.

本题考查了正负数，牢牢掌握正负数表示一对相反意义的量是解答本题的关键.

3．C

根据正数和负数的定义进行判断即可．

A．不大于0的数是负数和0，错误；

B．海拔高度是0米不能表示没有高度，错误；

C．0是正数与负数的分界，正确；

D．不是正数的数是负数或0，错误．

故选C．

本题考查了正数和负数的定义，关键是根据正数和负数的意义解答．

4．A

试题分析：已知盈利5%”记作+5%，根据正负数的意义可得﹣3%表示表示亏损3%．故答案选A.

考点：正负数的意义.

5．C

分析：利用相反意义量的定义判断即可．

详解：李白出生于公元年，我们记作+，那么秦始皇出生于公元前年，可记作-，

故选C．

点拨：此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键．

6．C

试题解析：A.上升和下降具有相反意义，而不是相反意义的量，该说法错误；

B.前进20米是单独的一个量，该说法错误；

C.向南走50米与向北走40米是具有相反意义的量，该说法正确；

D.收入20元与下降20米是没有任何关系的量.

故选C.

7．B

依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可．

∵45+0.03=45.03，45-0.04=44.96，

∴零件的直径的合格范围是：44.96≤零件的直径≤45.03．

∵44.9不在该范围之内，

∴不合格的是B．

故选B．

8．C

分析：根据正数和负数的意义可知，说明书中的（20±3）℃表示：该药物保存的标准温度是20°C，误差不超过3°C，即最低温度为（20-3）℃，最高温度为（20+3）℃，由此得出本题判断.

详解：∵20-3=17(°C)，20+3=23(°C)，

∴保存药品的最低温度为17°C，最高是23°C，

故答案选C.

点拨：此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解（20±3）℃的意义，理解“正”和“负”的相对性.

9．A

根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．

解：，

质量最接近标准的是A选项的足球，

故选A．

本题考查了绝对值和正数和负数的应用，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大．

10．98

根据题意可以分别计算出这四名同学的成绩，从而可以解答本题．

由题意可得，这四名同学的成绩分别为：80+10=90（分），80+0=80（分），80–8=72（分），80+18=98（分），即这4名同学实际成绩最高的是98分，

故答案为98．

本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正负数在题目中的实际意义．

11．3

试题解析：这8个数中，负数有－2，－，－3.2共3个．

12．-20分

一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，“正”和“负”相对．

如果加10用+10表示，那么扣20分用负数表示，

所以扣20分表示为-20．

故答案为-20

本题考查“正”和“负”的相对性，用有理数确定一对具有相反意义的量．

13．答案不唯一，如＋2表示收入2元，－3表示支出3元；＋2表示前进2米，－3表示后退3米等

在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.

∵正负号是表示一对具有相反意义的量，

∴答案不唯一，如如＋2表示收入2元，－3表示支出3元；＋2表示前进2米，－3表示后退3米等.

本题考试了一对具有相反意义的量的表示，牢牢掌握正负数表示一对相反意义的量是解答本题的重点.

14．下降，5；比海平面高米

上升了﹣5米，实际上是下降了5米；

如果比海平面低米记作﹣米，那么+米表示比海平面高米．

故答案为：（1）下降；（2）5；（3）比海平面高米．

15．元

根据题意得出：收入记作为正，支出记作为负，表示出来即可．

解：如果收入元记作+元，那么支出80元记作-80元，

故答案为：-80元．

本题考查了正数和负数，能用正数和负数表示题目中的数是解此题的关键．

16．12.

解：左边少了一根，最多能正确显示6个数字，分别是1；3；4；5；7；9；少了最左下边的一根，右边少了三根，最多能正确显示2个数字，分别是1；7，除了4外，其它字母都要5根或5根以上的才能组成，少了3根，只有4根，所以最多只能有数字1和7能正确显示；

所以左右两边可以组成11，17，31，37，41，47，51，57，71，77，91，97，这12个数字还能正确显示．故答案为12．

点拨：学生学会按照一定顺序，有规律地进行枚举，做到“不重不漏”；应用字典排列法解决整数分拆的问题，学会分辨“计次序”与“不计次序”的情形．

17．+分

试题分析：根据题意，可知分数的标准为90分，超过的记为正，低于标准的记为负，可由92-90=2，知小明的可记为+2，李聪的记为0，程佳的成绩表示为90+8=98分.

故答案为+2，0，98

18．③．

分析：求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．

详解：∵

-0.6

＜

+0.7

＜

+2.5

＜

-3.5

，

∴-0.6最接近标准，

故答案为③．

点拨：本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大．

19．（1）20筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克；（2）这20筐苹果的总质量时千克．

分析：（1）根据有理数的减法，可得答案；

（2）根据有理数的加法，可得答案；

详解：（1）2.5-（-3）=5.5（千克），

答：20筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克；

（2）20×25+（-3）+（-8）+（-3）+0+2+20=（千克）

答：这20筐苹果的总质量时千克．

点拨：本题考查了正数和负数，利用有理数的运算是解题关键．

20．（1）该商品的最高价格是元，最低价格是元；（2）该商品价格的浮动范围为±20元.

在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．（1）根据给出的条件列式计算即可解答．（2）根据题意，求出商品价格的浮动范围．

(1)最高价为：+×10%=(元)最低价为：×(%)=(元)；

答：该商品的最高价格是元，最低价格是元；

(2)因为20=20(元),=20(元)，所以这件商品加价和降价的幅度不超过20元，所以，这件商品价格的浮动范围又可以表示为±20元；

答：该商品价格的浮动范围为±20元.

此题考查正、负数的运算，百分数的实际应用，负数的意义及其应用，解题关键在于掌握其定义.

21．（1）是，+20度与-10度.（2）不是.（3）不是.（4）是，+18万元与一15万元

先判断两个量是不是相反意义的量，再由在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.

解：（1）是，+20度与-10度.

（2）南、北不是意义相反的量，故不是.

（3）卖出和收入不是意义相反的量，故不是;

（4）是，+18万元与一15万元.

考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，知道整数与负数通常表示相反意义的量．

22．向西运动米怎样表示米；运动0m米表示物体没有运动．

分析：利用向东前进记为“＋”，向西前进记为“”，再根据正负数表示相反意义的量，可得结果．

详解：一个物体沿东西两个相反的方向运动时可以用正负数表示它们的运动，如果向东运动5米记作＋5米，那么向西运动6.8米怎样表示6.8米；

如果运动6m米表示物体向东运动6米，运动15m米表示物体向西运动15米，运动0m米表示物体没有运动．

点拨：本题考查了正数与负数，正确理解正负数表示相反意义的量是解题关键．

23．（1）小王在下午出车的出发地的正东方向，距下午出车的出发地9千米；（2）59.4（元）；（3）小王这天下午盈利，盈利46.6元

（1）根据题意计算行车情况的和进行判断即可；

（2）根据题意求出每一乘客所付费用求和即可；

（3）算出总里程求出所耗油的费用与收入进行比较即可．

（1）﹣2+5﹣1+10﹣3﹣2﹣4+6＝9（千米）．

所以小王在下午出车的出发地的正东方向，距下午出车的出发地9千米；

（2）（2+5+1+10+3+2+4+6）×0.3×6＝33×0.3×6＝59.4（元）；

（3）10+10+2（5﹣3）+10+10+2（10﹣3）+10+10+10+2（4﹣3）+10+2（6﹣3）＝（元）．

所以小王这天下午收到乘客所给车费共元；

　﹣59.4＝46.6（元）．

所以小王这天下午盈利，盈利46.6元．

本题考查了正负数的运用，理解正负数的意义，认真审题明确何时与符号有关系，何时与绝对值有关系是解题的关键．

24．北

试题分析：（1）把给定数据求和.

(2)分步计算，比较大小，最大值，就是离出发点最远点.

(3)取每个数的绝对值，求和，乘以耗油量.

试题解析：解：（1）15﹣6+8﹣14﹣4+10﹣4﹣7+6+14=18，

∴养护小组最后到达的地方在出发点的北边，距出发点18千米，

故答案为北，18；

（2）由题意可得，

15﹣6=9，9+8=17，17﹣14=3，3﹣4=﹣1，﹣1+10=9，9﹣5=5，5﹣7=﹣2，﹣2+6=4，4+14=18，

故养护过程中，最远处离出发点有18千米，

故答案为18；

（3）由题意可得，

0.5×（15+6+8+14+4+10+4+7+6+14）

=0.5×88

=44（升），

故答案为44．

点拨：明确“正”和“负”所表示的意义，“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.

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